Aplicaciones de la transformaciones lineales: reflexion, dilatacion, contraccion y rotacion

Representacion Matricial de una transformacion

Transformacion Lineal

Transformación Lineal

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

F:V→W es una transformación lineal si y sólo si:

1. F(u+v)=F(u)+F(v)    ∀u,v∈V
2. F(k.v)=k.F(v)       ∀v∈V,  ∀k∈R

Propiedad 1

La imagen del vector nulo del dominio $0_V$ es el vector nulo del codominio $0_w$:

$$T\left(0_V\right)=0_w$$

Demostración:

$$T\left(0_V\right)=T\left(0.v\right)=0.T\left(v\right)=0.w=0_W$$

Donde hemos expresado a $0_V$ como el producto del escalar $0$ por cualquier vector del espacio vectorial $V$, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

Propiedad 2

La imagen del vector $–v$ es igual al opuesto de la imagen de $v$:

$$T\left(–v\right)=–T\left(v\right)$$

Demostración:

$$T\left(–v\right)=T\left(–1.v\right)=–1.T\left(v\right)=–T\left(v\right)$$

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

Núcleo de una transformación lineal

Sea F:V→W una transformación lineal. Llamamos núcleo de F al conjunto de vectores del dominio cuya imagen por F es el 0W.Nu(F)={v∈V|F(v)=0W}El núcleo de una transformación lineal es un subespacio de V.

Imagen de una transformación lineal

Llamamos imagen de F al conjunto de vectores de W que son imagen de algún vector de V.Im(F)={w∈W|w=F(v),v∈V}La imagen es un subespacio de W.

Ejemplo 1

Dada la siguiente transformación linealT:R3→R3,T((x,y,z))=(x–2y,0,2x–4y)Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.

Resolución

Para determinar el núcleo planteamos:

(x,y,z) está en el núcleo ⇔ T((x,y,z))=(0,0,0)

(x–2y,0,2x–4y)=(0,0,0)⇒{x–2y=02x–4y=0⇒x=2yEsto implica que la primera componente debe ser el doble de la segunda y que la tercera componente no tiene restricciones. Es un error común, en este punto, suponer que como «no aparece z», entonces z=0. Pero es importante notar que si «no aparece z» esto significa que no existen restricciones sobre esa componente. La forma de un vector del núcleo sería:(2y,y,z)Aplicando propiedades lo podemos escribir:y.(2,1,0)+z.(0,0,1)Luego el núcleo es:Nu(T)={(x,y,z)∈R3|x=2y}=gen{(2,1,0),(0,0,1)}Y una base del núcleo es:BNu={(2,1,0),(0,0,1)}La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal:(x–2y,0,2x–4y)=x.(1,0,2)+y.(–2,0,–4)Los vectores (1,0,2) y (–2,0,–4) son linealmente dependientes. Entonces tomamos uno de ellos para la base de la imagen:BIm={(1,0,2)}Finalmente podemos responder sobre las dimensiones de núcleo e imagen, porque hemos obtenido bases de estos subespacios:dim(Nu)=2dim(Im)=1